1.
Un joven estaba paseando con su perro robot, Farfel, por Central Park, en Manhattan. El aire de noviembre era frío, y una fina capa de nieve cubría el suelo.
Cuando el hombre llegó al estanque del parque, se detuvo para ajustar la velocidad de Farfel a 10 km/h. Luego sacó de su bolsillo una pelotita de goma.
- Mientras rodeo el estanque -dijo al perro-, iré lanzando la pelota. Quiero que cada vez vayas por ella y me la traigas, ¿de acuerdo?
- De acuerdo -respondió Farfel, meneando la cola.
Mientras caminaba alrededor del estanque, el hombre pensó: "La batería de Farfel se está agotando y me gustaría que durase lo más posible. Cuanta más distancia recorre, más corriente gasta. Si quiero minimizar la distancia a cubrir por el perro, ¿debo lanzar la pelota delante de mi, o bien hacia atrás, o hacia un lado?" La cuestión le dejo perplejo.
Supongamos que el hombre camina a una velocidad constante de 5 km/h, el perro trota a una velocidad constante de 10 km/h y ninguno de los dos hace ninguna pausa durante su recorrido alrededor del estanque. Supongamos también que el hombre y el perro empiezan juntos y están de nuevo juntos cuando el hombre termina su circuito.
¿Cómo ha de lanzar la pelota el hombre para minimizar la distancia cubierta por el perro? ¿Hacia delante, hacia atrás o hacia un lado? Y ¿es relevante el hecho de que lance la pelota cerca o lejos?
Piénselo detenidamente antes de buscar la respuesta un poco más adelante.





































2.
No tiene ninguna importancia la forma en que el hombre lance la pelota. Puesto que sabemos que el perro trota continuamente y a una velocidad constante durante el recorrido del hombre alrededor del estanque, cubrirá la misma distancia independientemente de las trayectorias que describa.
Sea x el perímetro del estanque en kilómetros. El hombre completará el circuito en x/5 horas. Durante ese tiempo el perro habrá recorrido 2x kilómetros independientemente de cuan lejos y en qué dirección lance la pelota el hombre.

Al terminar su vuelta, el hombre se encontró con una atractiva joven de ojos negros que estaba dando un paseo por el parque con su propio perro robot, Pasta. Pasear perros por Central Park es una excelente manera de conocer gente.
- Veo que nuestros perros han sido construidos por distintas empresas -dijo el hombre-. Me pregunto cuán cuidadosa es, en estos días, la programación de la velocidad de estos robots.
- ¿Por qué no hacemos que echen una carrera para comprobarlo?
- Magnífica idea. Programémoslos a ambos para que corran a 15 km/h y veamos si terminan la carrera a la vez.
El hombre cogió un palito y trazó una línea de partida sobre la nieve. Luego, a unos 200 metros, trazó la línea de meta. Al cruzar la meta, Farfel iba unos 10 metros por delante de Pasta.
- Lo siento -dijo Farfel.
- No importa -respondió Pasta.
- Eso nos demuestra -dijo el hombre- lo poco cuidadosas que son nuestras empresas. Si nuestros perros hubieran sido fabricados en África, en vez de en Japón, habrían terminado la carrera nariz con nariz.
- Probémoslo de nuevo -propuso la joven-. Esta vez hagamos que Farfel comience la carrera 10 metros detrás de Pasta. Si sus velocidades son constantes, deberían cruzar la meta simultáneamente.
Para sorpresa de ambos amos, uno de los perros terminó la carrera antes que el otro. Los dos perros habían corrido a la misma velocidad constante que antes, y a los amos les costó algún tiempo entender lo sucedido.
¿Qué perro llegó antes? No hace falta nada de álgebra para deducirlo, sólo un poco de sentido común.
La respuesta un poco más adelante.





































3.
Es fácil ver que Farfel ganará de nuevo la carrera, sin necesidad de conocer siquiera la distancia cubierta ni la velocidad de los perros. Puesto que Farfel empieza a correr con una desventaja igual a la ventaja que obtuvo en la primera carrera, los dos perros estarán a la par cuando Farfel haya recorrido una distancia igual a la comprendida entre las líneas de partida y llegada. En ese momento los dos perros estarán juntos a 10 metros de la meta. Como Farfel es más rápido, adelantará a Pasta en esos 10 metros y llegará antes.
A continuación, un tercer problema que tal vez le releve a más de un lector que no tiene una idea muy clara de la velocidad media.
Supongamos que Farfel da una vuelta alrededor del estanque a la velocidad constante de 10 Km/h. Luego se ajusta su velocidad a 15 km/h y da una segunda vuelta. ¿Cuál es la velocidad media de Farfel en las dos vueltas?
No se apresure demasiado en contestar, antes de pasar a la respuesta...





































4.
La velocidad media de las dos carreras no es 12,5 km/h como muchos creen.
Sea x el perímetro del estanque. A 10 km/h le lleva a Farfel x/10 horas completar una vuelta, y a 15 km/h, x/15. Las dos vueltas le llevan, pues, x/10 + x/15 horas, suma que da x/6. Por lo tanto, Farfel recorre 2x kilómetros en x/6 horas. La velocidad es igual a la distancia dividida por el tiempo. Por tanto, la velocidad media de Farfel en las dos vueltas es 2x dividido por x/6, o sea 12 km/h.
Una última pregunta que siempre sorprende a quienes no la conocen. Si Farfel da una vuelta a 10 km/h, ¿a qué velocidad tiene que dar una segunda vuelta para que la velocidad media de ambas sea de 20 km/h?
La respuesta, a unos clicks...





































5.
No recurriremos al álgebra esta vez, pero si hace la prueba con cualquier valor de x (el perímetro del estanque), verá que Farfel tendría que dar la segunda vuelta en nada de tiempo. Independientemente de la distancia, o de la volocidad en la primera vuelta, para que la velocidad media de las dos vueltas fuera el doble de la primera velocidad, el perro tendría que dar la segunda vuelta a una velocidad infinita.